Виды чисел

На примере развития видов чисел можно проследить самые простые законы эволюции, которой подчиняется все сущее. Подробнее об эволюции человека и Мироздания можно почитать в к книгах, онлайн размещенных на главной странице.

Основные числовые множеств

  • Натуральные числа ({\displaystyle \mathbb {N} }\mathbb {N} ) — числа, получаемые при естественном счёте: {\displaystyle \mathbb {N} =\left\{1,2,3,...\right\}.}{\displaystyle \mathbb {N} =\left\{1,2,3,...\right\}.} Иногда к множеству натуральных чисел также относят ноль, то есть {\displaystyle \mathbb {N} =\left\{0,1,2,3,...\right\}.}{\displaystyle \mathbb {N} =\left\{0,1,2,3,...\right\}.} Натуральные числа замкнуты относительно сложения и умножения (но не вычитания или деления). Сложение и умножение натуральных чисел коммутативны и ассоциативны, а умножение натуральных чисел дистрибутивно относительно сложения и вычитания.
  • Целые числа ({\displaystyle \mathbb {Z} }\mathbb {Z} ) — числа, получаемые объединением натуральных чисел со множеством чисел противоположных натуральным и нулём, обозначаются {\displaystyle \mathbb {Z} =\left\{...-2,-1,0,1,2,...\right\}.}{\displaystyle \mathbb {Z} =\left\{...-2,-1,0,1,2,...\right\}.} Любое целое число можно представить как разность двух натуральных. Целые числа замкнуты относительно сложения, вычитания и умножения (но не деления); в общей алгебре такая алгебраическая структура называется кольцом.
  • Рациональные числа ({\displaystyle \mathbb {Q} }\mathbb {Q} ) — числа, представимые в виде дроби m/n (n ≠ 0), где m — целое число, а n — натуральное число. Рациональные числа замкнуты уже относительно всех четырёх арифметических действий: сложения, вычитания, умножения и деления (кроме деления на ноль); в общей алгебре такая алгебраическая структура называется полем. Для обозначения рациональных чисел используется знак {\displaystyle \mathbb {Q} }\mathbb {Q}  (от англ. quotient).
  • Действительные (вещественные) числа ({\displaystyle \mathbb {R} }\mathbb {R} ) — числа, представляющие собой расширение множества рациональных чисел, замкнутое относительно некоторых (важных для математического анализа) операций предельного перехода. Множество вещественных чисел обозначается {\displaystyle \mathbb {R} }\mathbb {R} . Его можно рассматривать как пополнение поля рациональных чисел {\displaystyle \mathbb {Q} }\mathbb {Q}  при помощи нормы, являющейся обычной абсолютной величиной. Кроме рациональных чисел, {\displaystyle \mathbb {R} }\mathbb {R}  включает множество иррациональных чисел {\displaystyle \mathbb {I} }\mathbb {I} , не представимых в виде отношения целых.
  • Комплексные числа ({\displaystyle \mathbb {C} }\mathbb {C} ) — числа, являющиеся расширением множества действительных чисел. Они могут быть записаны в виде {\displaystyle z=x+iy}z=x+iy, где i — т. н. мнимая единица, для которой выполняется равенство {\displaystyle i^{2}=-1.}{\displaystyle i^{2}=-1.} Комплексные числа используются при решении задач электротехники, гидродинамики, картографии, квантовой механики, теории колебаний, теории хаоса, теории упругости и многих других. Комплексные числа подразделяются на алгебраические и трансцендентные. При этом каждое действительное трансцендентное является иррациональным, а каждое рациональное число — действительным алгебраическим. Более общими (но всё ещё счётными) классами чисел, чем алгебраические, являются периоды, вычислимые и арифметические числа (где каждый последующий класс шире, чем предыдущий).

Для перечисленных множеств чисел справедливо следующее выражение: {\displaystyle \mathbb {N} \subset \mathbb {Z} \subset \mathbb {Q} \subset \mathbb {R} \subset \mathbb {C} .}{\displaystyle \mathbb {N} \subset \mathbb {Z} \subset \mathbb {Q} \subset \mathbb {R} \subset \mathbb {C} .}

Обобщения чисел

Кватернионы представляют собой разновидность гиперкомплексных чисел. Множество кватернионов обозначается {\displaystyle \mathbb {H} }{\mathbb  {H}}. Кватернионы в отличие от комплексных чисел не коммутативны относительно умножения.

В свою очередь октонионы {\displaystyle \mathbb {O} }{\mathbb  {O}}, являющиеся расширением кватернионов, уже теряют свойство ассоциативности.

В отличие от октонионов, седенионы {\displaystyle \mathbb {S} }\mathbb{S} не обладают свойством альтернативности, но сохраняют свойство степенной ассоциативности.

Для этих множеств обобщённых чисел справедливо следующее выражение: {\displaystyle \mathbb {C} \subset \mathbb {H} \subset \mathbb {O} \subset \mathbb {S} .}{\displaystyle \mathbb {C} \subset \mathbb {H} \subset \mathbb {O} \subset \mathbb {S} .}

p-адические числа {\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}\Q_p можно рассматривать как элементы поля, являющегося пополнением поля рациональных чисел {\displaystyle \mathbb {Q} }\mathbb {Q}  при помощи т. н. p-адического нормирования, аналогично тому, как поле действительных чисел {\displaystyle \mathbb {R} }\mathbb {R}  определяется как его пополнение при помощи обычной абсолютной величины.

Аде́ли определяются как бесконечные последовательности {a,a2,a3,…ap…}, где a — любое действительное число, а ap — p-адическое, причём все ap, кроме, может быть, конечного их числа, являются целыми p-адическими. Складываются и умножаются адели покомпонентно и образуют кольцо. Поле рациональных чисел вкладывается в это кольцо обычным образом r→{r, r,…r,…}. Обратимые элементы этого кольца образуют группу и называются иде́лями.

Практически важным обобщением числовой системы является интервальная арифметика.

Иерархия чисел

Ниже представлена иерархия чисел, для множеств которых справедливо выражение {\displaystyle \mathbb {N} \subset \mathbb {Z} \subset \mathbb {Q} \subset \mathbb {R} \subset \mathbb {C} \subset \mathbb {H} \subset \mathbb {O} \subset \mathbb {S} }{\mathbb  {N}}\subset {\mathbb  {Z}}\subset {\mathbb  {Q}}\subset {\mathbb  {R}}\subset {\mathbb  {C}}\subset {\mathbb  {H}}\subset {\mathbb  {O}}\subset {\mathbb  {S}}, с примерами:

{\displaystyle 1,\;2,\;\ldots }1,\;2,\;\ldots Натуральные числа
{\displaystyle -1,\;0,\;1,\;\ldots }-1,\;0,\;1,\;\ldots Целые числа
{\displaystyle -1,\;1,\;{\frac {1}{2}},\;0{,}12,\;{\frac {2}{3}},\;\ldots }{\displaystyle -1,\;1,\;{\frac {1}{2}},\;0{,}12,\;{\frac {2}{3}},\;\ldots }Рациональные числа
{\displaystyle -1,\;1,\;0{,}12,\;{\frac {1}{2}},\;\pi ,\;{\sqrt {2}},\;\ldots }{\displaystyle -1,\;1,\;0{,}12,\;{\frac {1}{2}},\;\pi ,\;{\sqrt {2}},\;\ldots }Вещественные числа
{\displaystyle -1,\;{\frac {1}{2}},\;0{,}12,\;\pi ,\;3i+2,\;e^{i\pi /3},\;\ldots }-1,\;{\frac {1}{2}},\;0{,}12,\;\pi ,\;3i+2,\;e^{i\pi /3},\;\ldots Комплексные числа
{\displaystyle 1,\;i,\;j,\;k,\;2i+\pi j-{\frac {1}{2}}k,\;\dots }1,\;i,\;j,\;k,\;2i+\pi j-{\frac {1}{2}}k,\;\dots Кватернионы
{\displaystyle 1,\;i,\;j,\;k,\;l,\;m,\;n,\;o,\;2-5l+{\frac {\pi }{3}}m,\;\dots }1,\;i,\;j,\;k,\;l,\;m,\;n,\;o,\;2-5l+{\frac {\pi }{3}}m,\;\dots Октонионы
{\displaystyle 1,\;e_{1},\;e_{2},\;\dots ,\;e_{15},\;7e_{2}+{\frac {2}{5}}e_{7}-{\frac {1}{3}}e_{15},\;\dots }1,\;e_{1},\;e_{2},\;\dots ,\;e_{15},\;7e_{2}+{\frac {2}{5}}e_{7}-{\frac {1}{3}}e_{15},\;\dots Седенионы

Данная иерархия не является полной, так как её можно расширять сколь угодно много раз (см. процедура Кэли — Диксона). Материал из Вики.