Метатеория

МЕТАТЕОРИЯ

 

МЕТАТЕОРИЯ - совокупность математич. средств и методов, предназначенных для описания и определения нек-рой формальной аксиоматич. теории, а также для исследования ее свойств. М. является важной составной частью метода формализации - одного из центральных методов математич. логики.

Суть этого метода можно кратко охарактеризовать следующим образом. Допустим, нас интересует нек-рая содержательная математич. теория T1. Это может быть сложная теория, семантика к-рой недостаточно интуитивно ясна (напр., это может быть теория множеств, математич. анализ, арифметика 2-го порядка и т. п.). Нас интересует, является ли Т 1 непротиворечивой теорией или совместен ли с Т 1 некоторый математич. принцип (напр., выбора аксиома). С целью выяснения этого вопроса вначале формулируется точный логико-математич. язык Q такой, что все интересующие пас утверждения Т 1 записываются в виде формул языка Q. Затем логич. принципы, употреблявшиеся в теории для получения новых фактов, формализуются в виде аксиом и чисто формальных правил вывода, позволяющих выводить новые формулы языка Q из аксиом и уже выведенных формул. Таким образом, возникает формальная система (или, иначе, формальная аксиоматическая теория, исчисление) http://dic.academic.ru/pictures/enc_mathematics/031410-152.jpgточно описывающая нек-рый интересующий, нас фрагмент содержательной теории Т 1. Существенно при этом, что формулировка http://dic.academic.ru/pictures/enc_mathematics/031410-153.jpgне требует исчерпывающего проникновения в, быть может, весьма сложную семантику Т 1. Исчисление http://dic.academic.ru/pictures/enc_mathematics/031410-154.jpgстроится по простым законам как чисто знаковая система и для понимания устройства этой знаковой системы нет нужды вникать в смысл выводимых в ней формул.

Такой подход открывает, во-первых, возможность строго математически сформулировать интересующие нас проблемы, относящиеся к выводимости нек-рых формул в http://dic.academic.ru/pictures/enc_mathematics/031410-155.jpgи, во-вторых, исследовать http://dic.academic.ru/pictures/enc_mathematics/031410-156.jpgсредствами нек-рой содержательной теории Т 2. В этой ситуации http://dic.academic.ru/pictures/enc_mathematics/031410-157.jpgназ. предметной теорией, а Т 2- ее метатеорией.

С точки зрения оснований математики важно, чтобы Т 2 была в нек-ром отношении более надежной теорией, чем Т 1 , так что исследование http://dic.academic.ru/pictures/enc_mathematics/031410-158.jpgсредствами Т 2 можно было бы рассматривать как действительное разъяснение и обоснование неясных деталей семантики Т 1 с помощью более убедительной теории Т 2 . В этой связи особенное предпочтение отдается достаточно надежным М., отражающим финитные установки в математике, теориям, построенным в рамках интуиционизма или конструктивной математики. Впрочем, вне оснований математики это ограничение не является обязательным. Если нас интересует не столько вопрос об интуитивной ясности Т 1, сколько просто факт о выводимости или невыводимости нек-рых формул в http://dic.academic.ru/pictures/enc_mathematics/031410-159.jpgестественно исследовать http://dic.academic.ru/pictures/enc_mathematics/031410-160.jpgсредствами любой исторически сложившейся и убедительной для исследователя математич. теории Т 2, не накладывая никаких априорных ограничений.

Можно далее исследовать аналогичным образом и метатеорию Т 2 , построив формальную систему http://dic.academic.ru/pictures/enc_mathematics/031410-161.jpgи изучая уже http://dic.academic.ru/pictures/enc_mathematics/031410-162.jpgсредствами нек-рой метамета-теории Т 3 . Такого рода исследования характерны для доказательств теории.

Лит.:[1] Клини С. К., Введение в метаматематику, пер. С англ., М., 1957.

А. Г. <Драгалин

 

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. И. М. Виноградов. 1977—1985.

См. также в других словарях:

  • метатеория — метатеория …   Орфографический словарь-справочник
  • МЕТАТЕОРИЯ — (от греч. meta после, за, позади) теория, изучающая язык, структуру и свойства некоторой др. теории. Теория, свойства которой исследуются в М., называется предметной, или объектной, теорией. Наиболее развиты М. в логике и математике (металогика И …   Философская энциклопедия
  • МЕТАТЕОРИЯ — (от мета... и теория) изучает структурные, дедуктивные, семантические и пр. свойства какой либо другой (предметной) теории, представленной обычно в виде формальной системы или исчисления …   Большой Энциклопедический словарь
  • МЕТАТЕОРИЯ — теория, анализирующая различные свойства, структуру, закономерности, методы и приемы исследования другой теории, называемой объектной или предметной. М. выполняет методологическую функцию по отношению к определенной научной области. М. главным… …   Новейший философский словарь
  • МЕТАТЕОРИЯ — англ. metatheory; нем. Metatheorie. Теория, анализирующая структуру, методы и принципы к. л. научной теории. Antinazi. Энциклопедия социологии, 2009 …   Энциклопедия социологии
  • Метатеория — (от греч. meta после, за, позади) а теория, изунчающая язык, структуру и свойства некоторой другой теории. Теория, свойства которой исследуются в М., называется предметнной, или объектной, теорией. Наиболее развиты М. логики и математики (в… …   Словарь терминов логики
  • Метатеория — (от Мета...)         теория, анализирующая структуру, методы и свойства какой либо другой теории т. н. предметной теории, или объектной. Термин «М.» осмысленно употребляется лишь по отношению к некоторой конкретной предметной теории; так, М.… …   Большая советская энциклопедия

·         Перевод http://dic.academic.ru/dic.nsf/enc_mathematics/3096/%D0%9C%D0%95%D0%A2%D0%90%D0%A2%D0%95%D0%9E%D0%A0%D0%98%D0%AF