Философия математики

Философия математики

Отрасль философии, исследующая природу математических объектов и эпистемологические проблемы математического познания. Филос. проблемы математики можно разделить на две основные группы: онтологические и эпистемологические. Абстрактный характер объектов математики, особая убедительность и неопровержимость ее доказательств еще в антич. эпоху привлекли внимание философов к анализу особенностей предмета и метода математики. Тот факт, что ее понятия и суждения независимы от эмпирического опыта, а утверждения обладают весьма высокой степенью достоверности, уже давно стал аргументом в пользу существования независимых от опыта суждений a priori, а математическое знание стало представляться образцом чисто логического развития науки. В связи с этим и возникает основная онтологическая проблема — отношение математики к реальному миру: что она в нем изучает и какова природа ее объектов?

Одной из первых попыток решения этой проблемы стала концепция математического реализма, которую часто называют также платонизмом. Она постулирует, что математические объекты являются абстрактными, вечными и причинно не связанными с материальными предметами и эмпирическим опытом. Такой взгляд может объяснить, почему математика независима от опыта, а ее истины имеют достоверный характер. Однако как только возникает вопрос о ее приложении к естествознанию и др. конкретным наукам, то ни платонизм, ни позднее возникший реализм не могут удовлетворительно ответить на него.

Близкой по онтологии к реализму или даже его разновидностью является концепция структурализма, рассматривающая математику как науку об абстрактных структурах. С этой т.зр. арифметика, напр., не является наукой о таких абстрактных объектах, как числа, а скорей — о теоретико-числовых структурах. Наиболее настойчиво структурный взгляд пропагандировали математики, выступавшие под псевдонимом «Н. Бурбаки». Они поставили перед собой амбициозную цель: изложить все математические дисциплины с помощью аксиоматического метода и т.о. представить все существующее математическое знание в виде грандиозной аксиоматической структуры. В качестве основных, или порождающих, структур они выделяют алгебраические, топологические и структуры порядка, путем комбинации которых образуются др. структуры. По своей онтологической природе структуры являются априорными конструкциями, и их совпадение с эмпирической реальностью чисто случайно. «В своей аксиоматической форме математика представляется скоплением абстрактных форм — математических структур, и оказывается (хотя, по существу, и неизвестно почему), что некоторые аспекты экспериментальной действительности как будто в результате предопределения укладываются в некоторые из этих форм» (Н. Бурбаки).

Альтернативными реализму являются субъективные концепции, согласно которым содержание математики создается мышлением субъекта. Крайней формой такого субъективизма является убеждение, что существует столько математик, сколько самих математиков, и что даже каждый человек может создавать свою математику. Однако поскольку математическое знание и результаты его применения не зависят от сознания и воли отдельного субъекта, большинство сторонников субъективного подхода вынуждены признать если не объективность, то интерсубъективность математики, т.е. независимость ее результатов от индивидуального сознания. Для оправдания такой интерсубъективности чаще всего обращаются к философии Канта, которая обосновывает общезначимый и необходимый характер математических суждений тем, что объявляет их априорными формами познания, изначально присущими человеку. На эту кантианскую идею опирается и интуиционистская концепция математики, выдвинутая Л.Э.Я. Брауэром: «...Главным в математической деятельности являются умственные построения, осуществляемые на основе непосредственной интуиции, а не язык или логика, посредством которых выражаются результаты этой деятельности». Интуиционисты считают математические объекты существующими тогда, когда они построены, а доказательства фактически проведены.

Др. альтернативой реализму являются представления о математике и ее объекте как свободных от к.-л. онтологии. Эти представления варьируются: одни рассматривают математику как особый метод, применимый во многих науках, но не имеющий ни своего содержания, ни собственного предмета исследования, др. предлагают говорить о математических объектах в модальных терминах, т.е. вместо того, чтобы считать их существующими, заявляют о возможности их существования, третьи — вообще объявляют их фикциями, и т.п. Такого рода инструменталистские взгляды не могут объяснить, почему возможные, а тем более фиктивные понятия математики могут применяться в содержательных рассуждениях естествознания, технических и социально-гуманитарных наук.

Широкое распространение получил конструктивный подход к математике, сторонники которого, как и интуиционисты, отрицают законность применения в ней актуальной, ставшей бесконечности и вновь возвращаются к бесконечности потенциальной, становящейся. Конструктивисты опираются на более точные определения конструктивных объектов и операций, а также фундаментального понятия алгоритма, служащего основой для построения конструктивной математики. Выдающийся вклад в развитие этой математики внесла отечественная школа ученых во главе с А.А. Марковым. В отличие от интуиционистов, которые рассматривают математику как чисто умозрительную деятельность, связанную с построением математических объектов на «базисной интуиции интеллекта, без обращения к непосредственной применимости» (Брауэр), Марков указывает, что умозрительный характер имеют не сами построения, а наши рассуждения о них, в особенности когда начинают использоваться абстракции.

Эпистемологические проблемы математики тесно связаны с онтологическими, т.к. от понимания ее объектов и предмета исследования зависит оценка методов ее познания. Сторонники платонизма, или реализма, рассматривая абстрактные объекты математики как априорные, неизменные и не связанные с материальным миром, считают основным средством познания интеллектуальную интуицию, не подверженную случайностям опыта. Поскольку при этом математика оказывается изолированной от реального мира и конкретных наук, то некоторые реалисты начинают сближать интеллектуальную интуицию с чувственной.

Структуралисты, особенно эмпирического толка, рассматривают математические структуры как некоторые абстрактные схемы, приближенно верно описывающие свойства и отношения реальных систем, от которых можно отвлечься в математическом исследовании. Хотя сами структуры являются абстрактными, знание о них может быть получено путем анализа реальных систем, в которых они представлены. Такой подход наталкивается, однако, на серьезные трудности, когда приходится иметь дело с наиболее глубокими для математики понятиями, как, напр., «бесконечность», которая не дана в эмпирическом опыте.

Допуская возможность создания таких понятий мышлением субъекта, интуиционисты, на первый взгляд, оправдывают их существование в математике, но не объясняют, как чисто субъективные создания мысли оказываются применимыми для познания реальной действительности. Более адекватно объясняют процесс создания таких далеких от эмпирической действительности понятий, как «бесконечность», сторонники конструктивного направления. Марков убедительно показывает, что подобные понятия создаются с помощью абстракции потенциальной осуществимости построения математических объектов: «Абстракция потенциальной осуществимости позволяет нам рассуждать о сколь угодно длинных конструктивных процессах и сколь угодно больших конструктивных объектах. Их осуществимость потенциальная: они были бы осуществимы практически, располагай мы достаточным пространством, временем и материалом». На основе этой абстракции возникает понятие «потенциальная бесконечность», которое интуиционисты и конструктивисты противопоставляют понятию «актуальная бесконечность» сторонников платонизма и математического реализма, оказывающемуся источником возникновения парадоксов в канторовской теории множеств.

Различие онтологических и эпистемологических подходов в Ф. м. явно выражается и в решении специальных проблем обоснования математики сторонниками разных его направлений. Так, напр., представители платонизма признают существование актуальной бесконечности в математике и поэтому допускают применение в ней закона исключенного третьего и «чистых» (косвенных) доказательств существования. Их оппоненты — интуиционисты и конструктивисты — решительно возражают против этого, поскольку они отвергают актуальную бесконечность и признают лишь бесконечность потенциальную, к которой неприменим закон исключенного третьего, а доказательствами считаются только конструктивные доказательства, где искомый объект либо фактически, либо потенциально может быть построен.

В математической практике объективность и необходимость полученных результатов обычно обосновывается применимостью их в естествознании и др. конкретных науках, ближе стоящих к эмпирической реальности.

Бурбаки Н. Очерки по истории математики М., 1963; Марков А.А. О логике конструктивной математики М., 1972; Он же. Конструктивная математика // Математический энциклопедический словарь. М., 1983; Brouwer L.E.J. Collected Works. Vol. 1. Philosophy and Foundations of Mathematics. Amsterdam, 1975.

Г.И. Рузавин

Источник: «Философский энциклопедический словарь".

 

ФИЛОСОФИЯ МАТЕМАТИКИ


    ФИЛОСОФИЯ МАТЕМАТИКИ — исследовательская область философии, в которой выявляются основания математического знания, место математики в системе знания, онтологический статус математических объектов, методы математики Понятая так философия математики оказывается существенной частью почти всех философских систем. Практически каждый философ старался высказать свое отношение к математике и определить место этой области знания При решении собственно математических проблем философское обоснование математического знания необходимо для выяснения условий достоверности последнего, это послужило поводом для обращения к философии многих ведущих математиков. Кроме того, философия математики связана с использованием математики для прояснения или обоснования философской позиции. Многие философские исследования содержат математические примеры, служащие либо иллюстрацией философского рассуждения, либо даже методологической базой философского исследования Наиболее яркий пример использования математики в философии дает Николай Кузанский, для которого геометрические образы оказываются едва ли не самым адекватным средством проведения философского рассуждения

    Значимость математики для философии впервые обосновал Платон. Он рассматривал числа и геометрические фигуры как эйдосы и парадейгмы, т е принципы и начала вещей, благодаря которым последние обретают смысловую определенность и становятся причастны бытию Изучающая эйдосы математика важна для Платона прежде всего потому, что переориентирует ум с рассмотрения преходящего и становящегося бытия на подлинно сущее, устойчивое и определенное в себе Она, поэтому, оказывается подготовительной ступенью для диалектики, т е непосредственного знания идеи Блага — высшей реальности, причастность которой и дает бытие математическим предметам

    Иную позицию по отношению к математике занимает Аристотель, согласно которому числа и геометрические фигуры (точнее линии, поверхности и тела) суть лишь результат отвлечения от чувственно воспринимаемых вещей, их определенных свойств. Математика, как любая другая наука, изучает сущность (см. Сущность и явление), но не всесторонне, а лишь выделяя интересующий ее количественный аспект Числа и величины и есть тот аспект существования вещи, на который обращает внимание математика

    В философии Нового времени можно выделить два — во многом противоположных — подхода к математике, которые развивались в рамках рационализма и эмпиризма В рационализме математика рассматривалась как наиболее достоверное основание всякого знания, тогда как эмпиризм пытался вывести ее из опыта Характерными в этом отношении являются, напр , воззрения Декарта, с одной стороны, и Беркли — с другой Декарт исходит из того, что всякое знание должно базироваться на фундаменте ясного и непосредственного интеллектуального созерцания, интуиции, дающей возможность прямого усмотрения истины. Такое прямое усмотрение возможно, однако, лишь тогда, когда мы имеем дело с наиболее простыми и вместе с тем фундаментальными понятиями — теми, которые недоступны никакому анализу и представлению через другое. В качестве такого фундаментального и непосредственно ясного понятия Декарт указывает протяженность. Это сразу делает науку, изучающую протяженные конфигурации — геометрию, — основанием для всех остальных наук. Именно сведением к протяженности должна быть обоснована истинность всех научных понятий. Геометрическая интуиция (созерцание протяженных величин) служит основанием и для самой математики. С помощью отношений величин Декарт вводит числа и числовые отношения, а алгебраические уравнения обретают смысл потому, что рассматриваются как уравнения линии. Возможности геометризации в познании природы Декарт считал практически безграничными. Сам он не только пытался выстроить на этой основе почти все естественно-научные дисциплины (включая, напр., физиологию), но и не исключал возможности применения своего универсального метода и к объяснению человеческого поведения.

    Оценка математики в философии Беркли противоположна позиции Декарта в том смысле, что он не только не считает математические понятия фундирующими знание, но, напротив, пытается показать, что математика, как никакая другая наука, склонна к заблуждениям и противоречиям. Беркли во многом предвосхитил дискуссии об основаниях математики начала 20 в., указав, что нужно с особой тщательностью подходить к процедуре образования математических понятий, чтобы избежать ошибок и парадоксов в этой науке. Правильно образованным Беркли считал то понятие, которое непосредственно выражает данные чувств. Существует лишь то, что воспринимается, а все остальное есть способ репрезентации воспринятого. Число и геометрическая фигура — именно такие репрезентанты. Однако, комбинируя разные репрезентации, математик может очень далеко уйти от их основы и соорудить такие отвлеченные конструкции, которым не соответствует никакое ощущение. Беркли предлагал очистить математику от беспочвенных абстракций, критикуя прежде всего исчисление бесконечно малых, которое он находил противоречивым и к тому же совершенно бесполезным.

    Позиция тех, кто, подобно Декарту, считал математику основой всякого научного знания, оказывается более выигрышной с точки зрения развития математического естествознания, поскольку она объясняет необычайную эффективность математики в исследовании природы. Однако критика математического знания с позиций эмпиризма (в чем Беркли, по-видимому, преуспел больше других) предлагала более трезвое отношение к математике, противопоставляя рационалистическому энтузиазму намерение установить границы ее применимости. Обе названные интенции были реализованы Кантом, который, с одной стороны, поставил задачу обосновать использование математики в естествознании, а с другой — ясно определить границы как математики, так и всего естествознания в целом. Кант определил число и величину как априорные формы знания, помимо которых рассудок вообще не может мыслить ни одного явления. Знание природы состоит в конструировании природных объектов сообразно правилам рассудка, а поскольку число и величина задают такие правила, постольку любой объект оказывается прежде всего математическим. Все в природе измеримо и исчисляемо — по-другому мы просто не можем ее мыслить. Вместе с тем математика всегда остается в сфере чувственности. Ее понятия применимы лишь к тому, что доступно непосредственному созерцанию, которое может быть только чувственным (а не интеллектуальным, как полагал Декарт). Такой подход к математике почти не вызывает трудностей, если речь идет о Евклидовой геометрии, алгебре и арифметике. Однако проблем исчисления бесконечно малых Кант, в отличие от Беркли, почти не касался.

    Философское обоснование математического знания постоянно обсуждалось не только философами, но и математиками. Однако пик озабоченности ведущих математиков философскими проблемами пришелся на начало 20 в. и был связан с разразившимся в это время кризисом оснований. Возникшие тогда направления в математике (их обычно выделяют четыре: логицизм, интуиционизм, формализм и теоретико-множественное направление) различаются прежде всего философскими установками, повлиявшими в свою очередь на структуру развиваемого ими математического дискурса. Впрочем, позиция каждого направления была тесно связана с философской классикой.

    Рассел, сформулировавший философскую базу логицизма, во многом солидаризировался с английским эмпиризмом. Он исходил из того, что основание математики лежит вне ее и все математическое знание должно быть фундировано нематематическими посылками. Истинность математических суждений обнаруживается их сведением к наиболее простым и непосредственно устанавливаемым суждениям о реальности, т. е. эмпирическим фактам. Рассел был убежден в том, что математика будет иметь смысл (и избавится от противоречий), когда будет показано, что она отражает какое-то реальное положение дел. Наибольшую сложность в его концепции представляло объяснение того, что собственно означает это реальное положение дел, т. е. что следует называть фактами и как их устанавливать.

    Прямо противоположная позиция была занята основателем интуиционистской школы Брауэром. Он считал математику вполне самодостаточной дисциплиной, основания которой лежат внутри ее самой. Более того, по мнению Брауэра, математика является наиболее чистым выражением фундаментальных интуиции, лежащих в основе всякой когнитивной деятельности. Говоря об интуиции, он прежде всего имел в виду интуицию числового ряда, которая, будучи непосредственно ясна сама, задает априорный принцип любого математического (да и не только математического) рассуждения. Последнее он представлял как последовательность конструктивных действий, осуществляемых одно за другим согласно некоторому закону. Обоснованность математических понятий поэтому оказывалась тождественна их конструктивности. По Брауэру, все неконструктивные абстракции (прежде всего абстракция актуальной бесконечности) должны быть устранены из математики. Идея конструктивности была использована и Гильбертом, предложившим формалистическую программу обоснования математики. Его проект включал два основных пункта: 1) аксиоматизация основных математических дисциплин и 2) доказательство непротиворечивости аксиоматически заданных теорий в рамках метаматематики. Первый пункт означал особую трактовку онтологического статуса математических объектов. Они рассматривались всего лишь как символы или их комбинации, не имеющие никакой сущности и определения. Их определенность возникает только благодаря месту в формулах теории, т. е. благодаря полной совокупности отношений, в которых они участвуют. Второй пункт гильбертовской программы предлагал трактовать математическое рассуждение так же, как объект теории. Доказательство математической теоремы, точно так же как и математические объекты, есть определенная комбинация символов, т. е. объект, сконструированный по заданным правилам. Завершенность и регулярность таких объектов и должна стать гарантией их непротиворечивости. Гильберт считал особенно важным то, что всякое математическое рассуждение конечно и доступно прямому чувственному созерцанию. Здесь Гильберт прямо солидаризируется с Кантом. Более того, программа Гильберта может быть рассмотрена как своего рода апология кантианства именно там, где позиции последнего наиболее уязвимы — в тех областях, которые не имеют дела с созерцаемыми объектами. Дело в том, что в рассуждении (т. е. аксиоматической теории) любой бесконечный объект все равно есть лишь непосредственно созерцаемая символическая конструкция.

    В целом можно выделить несколько основных проблем, на которых постоянно концентрируется философия математики. Во-первых, это проблема интуиции или непосредственного чувственного или интеллектуального созерцания. Именно ясность и простота созерцания оказываются критерием обоснованности математического знания. Вторая проблема состоит в том, где следует искать возможность такого созерцания: дает ли ее сама математика, или оно лежит в иных областях, из которых математика должна быть выведена. Обе проблемы по-прежнему остаются в центре внимания философии математики и продолжают в значительной мере определять содержание современных дискуссий.

    Лит.: Беркли Дж. Соч. М., 1978; БурбакиН. Очерки по истории математики. М., 1963; Гильберт Д. Основания геометрии. М., 1948; Декарт Р. Правила для руководства ума.— Соч. в 2 т., т. 1. М-, 1989, с. 77—153; Он же. Геометрия. М.—Л., 1938; Кант И. Критика чистого разума. СПб., 1993; Платон. Государство.— Собр. соч. в 4т., т. 3. М., 1994, с. 79—420; Сборник статей по философии математики. М., 1936; ФренкельА., Бар-ХиллелИ. Основания теории множеств. М., 1966; BrouwerL. Е. J. On the foundations of Mathematics. Collected \\brks,v. l.Amst.-Oxf.-N.Y., 1975, p. ll-lOli./es.scp/i.D.MBerldey's philosophy of mathematics. Chi., 1993.

    Г. Б. Гутнер

Новая философская энциклопедия: В 4 тт. М.: Мысль. Под редакцией В. С. Стёпина. 2001.