Проблемы математического знания

NZ-комментарии. Для понимания неоэзотерической науки на третьем уровне ее описания, т.е. с применением элементов формализации, необходимо ознакомиться с проблемами философии и конструирования математики, которая первой столкнулась с парадоксами предельных абстракций.

Не знакомым с математикой придется немного напрячься, чтобы вникнуть в суть проблем, но этот труд будет чрезвычайно полезен для общефилософского понимания.  Основная статья "Логический аппарат мета эзотерики"

Критика классической математики

Отдельные черты интуиционизма можно проследить ещё в античной математике, а позднее в высказываниях таких учёных, как Гаусс, Кронекер, Пуанкаре, Лебег, Э.Борель. Однако в своём современном виде интуиционизм возник как результат критического пересмотра основ классической математики, проведённого начиная с 1907 года Л. Э. Я. Брауэром.

В основе критики Л. Э. Я. Брауэра лежит вопрос о природе математических объектов и суждений о них. Так, естественно представить, что произвольное натуральное число может быть построено в виде последовательного ряда однородных предметов, например, ряда точек. Столь же естественно представить, что, построив некоторое натуральное число, можно построить затем и следующее, добавив к уже построенному ещё одну точку. Поэтому природа натуральных чисел является интуитивно ясной. Однако наряду с такими объектами в классической математике рассматриваются и объекты с интуитивно неясной природой, например, «множество всех натуральных чисел» и «множество, неизмеримое по Лебегу». С ними не связывается никакого способа их мысленного построения, и потому их действительное существование представляется сомнительным.

Одним из источников возникновения такого рода «монстров» в классической математике являются теоремы чистого существования, в которых наличие искомого объекта утверждается лишь на основе формального опровержения гипотезы о его невозможности. Иначе говоря, фундамент таких теорем составляет представление об абсолютной непогрешимости законов классической логики.

Это представление также стало одной из мишеней критики Брауэра. С его точки зрения, законы классической логики возникли в результате рассмотрения конечных совокупностей, при работе с которыми доказательство чистого существования заведомо может быть дополнено эффективным способом построения искомого объекта — полным перебором. При переходе же к рассмотрению бесконечных совокупностей эти законы становятся недостоверными, поскольку полного перебора таких совокупностей мы провести уже не можем.

Аналогичные трудности возникают при попытках прояснения статуса существования многих других объектов классического анализа, например, точек экстремума непрерывной функциина отрезке, нулей знакопеременных непрерывных функций на отрезке и т. д. Никакого способа эффективного построения указанных объектов в нашем распоряжении не имеется.

Такая критика классической математики не связана непосредственно с антиномиями теории множеств. Появление антиномий можно рассматривать как дополнительный довод в пользу неудовлетворительности теоретико-множественного подхода, но критика относится и к таким разделам математики, где антиномий не возникает.

Интуиционистская логика

Для более ясной формулировки интуиционизма последователь Л. Э. Я. Брауэра А. Гейтинг создал интуиционистскую логику.

При построении интуиционистской математики обычные логические связки, употребляемые для формулировки математических суждений, истолковываются способом, отличным от классического. Любое суждение считается осмысленным, только если оно выражает возможность некоторого умственного построения, и считается истинным, только если исследователю удалось выполнить соответствующее построение. Так, утверждение, начинающееся с квантора существования, означает наличие способа мысленного построения искомого объекта. Дизъюнкция   суждений   или   означает возможность непосредственно указать среди этих суждений верное. С этой точки зрения, суждение вида   может и не быть истинным, если проблема   не решена к настоящему времени. Отсюда видно, что закон исключённого третьего неприемлем в интуиционистской математике в качестве логического принципа.

 Отказ от абстракции актуальной бесконечности провозглашался как один из принципов интуиционизма, в то же время, А.А. Марковым впоследствии было показано, что использование принятого в интуиционизме аппарата построений на деле означает привлечение абстракции актуальной бесконечности.

 Эффективность в интуиционизме понимается достаточно широко, она не обязательно связана с наличием алгоритма в точном понимании этого термина и может носить, например, характер исторического наступления события, зависеть от фактического решения проблем, от физических факторов.

Объекты исследования

Объектами исследования интуиционистской математики являются, прежде всего, конструктивные объекты, такие, как натуральные числа, рациональные числа, списки конструктивных объектов. Кроме того, характерной чертой интуиционизма, отличающей его от конструктивной математики, является рассмотрение свободно становящихся последовательностей математических объектов (то есть неограниченно продолжающихся и не управляемых никаким заранее определённым законом процессов выбора таких объектов). Рассмотрение свободно становящихся последовательностей связано с привлечением абстракции актуальной бесконечности (отказ от которой в интуиционизме, таким образом, не является абсолютным).

Примечателен тот факт, что, несмотря на общепринятую в философии математики точку зрения, интуиционист А. Гейтинг вместе с другими последователями школы Л. Э. Я. Брауэра признает объективность математических истин, их включенность в структуру действительности. Однако описание того, каким именно образом математические истины включены в реальность, по словам Гейтинга, математики дать не в состоянии. Таким образом, можно вполне определенно утверждать наличие реалистических установок в интуиционистском понимании природы математического знания в целом.

Требование интуитивной ясности используемых понятий и проводимых конструкций приводит к тому, что некоторые разделы традиционной математики приобретают в интуиционизме весьма необычный вид. Числовой континуум трактуется не как совокупность отдельных точек, а как «среда становления», поток измельчающихся рациональных интервалов. Каждое отдельное интуиционистское вещественное число определяется как свободно становящаяся последовательность неограниченно уменьшающихся вложенных друг в друга рациональных интервалов. В рассуждениях об интуиционистском числовом континууме (и вообще, в интуиционистской теории потоков) применяется ряд тесно связанных с представлением о свободном становлении логических принципов, основным из которых является бар-индукция. Это позволяет, в частности, утверждать, что всякая интуиционистская вещественная функция, определённая на отрезке, равномерно непрерывна.

Рецепция принципов и методов интуиционизма в других направлениях математики

Сторонники интуиционизма не связывают свои воззрения с какими бы то ни было логическими системами. Так, А. Гейтинг утверждал, что «логика — не та почва, на которой мы стоим», и что формализовать можно лишь завершённую часть интуиционистской математики (развивающиеся же её части могут потребовать существенного пересмотра используемых логических средств). В конце жизни он даже высказывал сожаление, что его известность связана в значительной степени с предложенной им системой логических правил, допустимых с точки зрения интуиционизма уже ввиду их формы. Дело в том, что в исследовании этой системы (получившей известность под неточным названием «интуиционистского исчисления высказываний») приняли значительное участие и математики, не разделявшие взглядов интуиционизма, и пытавшиеся сводить всё его содержание к набору логических правил Гейтинга. В настоящее время мнение о возможности такого сведения является одним из основных математических предрассудков, касающихся интуиционизма.

Тем не менее, исследования интуиционистского исчисления высказываний и основанных на нём формальных теорий представляют и самостоятельный интерес. В частности, была открыта топологическая интерпретация этого исчисления (А. Тарский) и его интерпретация в виде исчисления задач (А. Н. Колмогоров). Была доказана независимость логических связок и невозможность представления интуиционистской логики высказываний в виде конечнозначной логики (К. Гёдель). А. Гейтинг описал интуиционистское арифметическое исчисление, которое получается, если классическое арифметическое исчисление рассматривать на базе интуиционистского исчисления предикатов.

Для исчисления предикатов и арифметического исчисления Колмогоров и Гёдель предложили погружающую операцию классического исчисления в негативный фрагмент соответствующего интуиционистского исчисления (позволяющую, в частности, сводить вопрос о непротиворечивости классического исчисления к аналогичному вопросу для соответствующего ему интуиционистского).

В 1945 году С. К. Клини предложил новый вариант интуиционистского понимания арифметических суждений, основанный на развитой в 1930-е годы теории алгоритмов и получивший известность под именем рекурсивной реализуемости. Дальнейшая разработка этого понимания и связанных с ним идей в научной школе А. А. Маркова привела к возникновению современной конструктивной математики.

Конструктивная математика — абстрактная наука о конструктивных процессах, человеческой способности осуществлять их, и об их результатах — конструктивных объектах.

Абстракции конструктивной математики

Абстрактность конструктивной математики проявляется в систематическом применении двух основных отвлечений: абстракции отождествления и абстракции потенциальной осуществимости.

Абстракция отождествления состоит в предположении о возможности однозначного и не вызывающего сомнений решения вопроса о (графическом) равенстве или различии любых двух рассматриваемых нами конструктивных объектов, а также о возможности полного отвлечения от мелких различий, имеющихся между графически равными объектами. Случаи, когда указанные предположения не выполняются, заранее исключаются из рассмотрения. Так, при рассмотрении слов в кириллическом алфавите мы исключаем из рассмотрения случаи, когда не можем прочитать слово (вследствие неразборчивости почерка или, например, вследствие повреждения запоминающего устройства ЭВМ, в которое слово было занесено).

Абстракция потенциальной осуществимости состоит в отвлечении от границ наших конструктивных возможностей в пространстве, времени и материале. Случаи, когда находящихся в нашем распоряжении средств недостаточно для осуществления требующихся построений, заранее исключаются из рассмотрения.

Основные объекты рассмотрения

Представления о конструктивном процессе и конструктивном объекте не имеют общего определения. Различные теории конструктивной математики могут иметь дело с конструктивными объектами самых разнообразных конкретных видов (целочисленными матрицами, многочленами с рациональными коэффициентами, и т. д.). Однако может быть указано несколько типов конструктивных объектов, способных моделировать любые другие известные конструктивные объекты (и, тем самым, способных считаться в некотором смысле конструктивными объектами общего вида). Таковы, в частности, слова в различных алфавитах.

Особенности логики конструктивной математики

Характерной чертой конструктивных объектов является то обстоятельство, что они не существуют извечно. Они рождаются в результате развёртывания некоторых конструктивных процессов, а затем исчезают (в силу самых различных естественных причин). 

В связи со сказанным, в конструктивной математике под «существованием» конструктивного объекта понимается его потенциальная осуществимость — то есть наличие в нашем распоряжении метода, позволяющего воспроизводить этот объект любое потребное число раз. Такое понимание резко расходится с пониманием существования объекта, принятым в теоретико-множественной математике. В теории множеств факт постоянного рождения и исчезновения конструктивных объектов не находит никакого выражения: с её точки зрения, подвижные реальные объекты являются лишь «тенями» вечно существующих в некотором фантастическом мире статичных «идеальных объектов» (и только эти «идеальные объекты» и следует якобы рассматривать в математике).

Понимание существования объекта как потенциальной осуществимости приводит к тому, что логические законы, действующие в конструктивной математике, оказываются отличными от классических. В частности, теряет универсальную применимость закон исключённого третьего. Логическое опровержение предположения, что любой конструктивный объект рассматриваемого вида обладает некоторым свойством А — считающееся в теоретико-множественной математике достаточным основанием признать «существующим» объект со свойством не-А , — не может само по себе служить поводом для признания объекта со свойством   потенциально осуществимым. Следует заметить, однако, что за такого рода логическими опровержениями всё же признаётся определённая эвристическая ценность (так как они, хотя и не дают никакого способа построения искомого объекта, всё же указывают на осмысленность попыток такого построения). Конструктивные объекты, для которых удалось в рамках классической логики доказать их «существование», принято называть квазиосуществимыми.

Кризис оснований математики — термин, обозначающий поиск фундаментальных основ математики на рубеже XIX и XX веков.

Начало кризиса

Теоретико-множественный подход, получивший широкое развитие в конце XIX века, позволил возвести математику на прочном, и, казалось, надежном фундаменте - канторовой теории множеств. Развитие канторовой теории множеств привело к возможности выразить в терминах этой теории все основные математические понятия. Возможность построения математики на теоретико-множественном фундаменте Гильберт охарактеризовал как "рай для математиков", а уже построенную на этой основе часть математики называл "симфонией бесконечного". Однако восторги сменились шоковым состоянием, когда была обнаружена противоречивость канторовой теории множеств.

Парадоксы

На рубеже XIX-XX веков были открыты так называемые парадоксы теории множеств.

Сущность парадокса заключается в том, что с помощью логически правильных рассуждений удается обосновать (доказать средствами данной теории) одновременно некоторое утверждение и его отрицание, т.е. противоречие. Это означает противоречивость данной теории. По законам логики в противоречивой теории доказуемо "все что угодно", т.е. любое утверждение.

Наибольшую известность среди открытых парадоксов получили:

Парадокс Рассела

Парадокс Кантора

Парадокс Ришара

Парадокс Банаха — Тарского

Парадокс Бурали-Форти


Пути устранения парадоксов

С целью избежания некоторых парадоксов было предложено ограничить принцип свертывания - широко распространенной математической конструкции, позволяющей образовывать множества с помощью тех или иных свойств объектов.

Принцип свертывания

Принцип свертывания заключается в том, что для любого свойства А   считается существующим множество, состоящее из тех и только тех объектов, которые обладают свойством А.

Критика существовавших логических принципов

Однако даже полное избавление от обнаруженных парадоксов не спасает и не страхует теорию множеств от новых парадоксов. Поэтому по-прежнему оставалась актуальной задача "спасения" математики. Фактически перед математиками стояла задача переосмысления логических средств, используемых в математических рассуждениях, надежности этих средств и соответствия их существу математики. Гарантировать невозможность противоречий в математической теории могло лишь доказательство непротиворечивости этой теории.

Тем не менее, сущность кризиса не исчерпывалась только парадоксами, а заключалась также и в следующем.

Во-первых, к концу XIX века среди математиков наметились существенные расхождения во взглядах на основные математические понятия и принципы, а также на логические принципы, используемые в математике.

Во-вторых, возникли расхождения во взглядах на выбор путей избавления от парадоксов.

Наконец, и по-видимому это самое главное, существовали принципиальные трудности обоснования непротиворечивости математики, ее "спасения", многие из которых не преодолены до сих пор.

Критика некоторых теоретико-множественных принципов

Параллельно с открытием парадоксов (и независимо от этого) был подвергнут критике целый ряд теоретико-множественных и логических принципов.

Эта критика, прежде всего, была направлена на абстракцию актуальной бесконечности. Другим теоретико-множественным принципом, вызывающим многочисленные споры среди математиков, явилась знаменитая аксиома выбора. Споры вокруг аксиомы выбора были вызваны, с одной стороны очевидностью утверждения, а с другой - неэффективностью понимания существования множества выбора, а также странные результаты, получаемые с ее использованием (см. парадокс Банаха — Тарского). Стоит отметить, что, несмотря на явное противоречие утверждения теоремы повседневному опыту, данное утверждение не является парадоксом в логическом смысле.

Критика некоторых логических законов традиционной логики

Основными объектами критики стали такие логические законы, как закон исключенного третьего, закон снятия двойного отрицания, а следовательно и опирающийся на него метод доказательства от противного.

Появление логических школ

В результате различных взглядов на использование логических и теоретико-множественных принципов, а также различных взглядов на пути выхода из кризиса сформировались разные математические школы, яростно противостоявших друг другу.

Лидирующей школой являлась формалистская, самым ярким последователем которой был Давид Гильберт. Свои идеи он собрал в так называемой Гильбертовой программе, в которой предполагалось обосновать математику на небольшом логическом базисе, содержащемся в финитизме.

Основным противником данной школы была школа интуитиционистов, отрицавшая возможность использования двойного отрицания и считающая недопустимым принятие принципа абстракции актуальной бесконечности. Возглавлял школу Брауэр, Лёйтзен Эгберт Ян. Брауэр безбоязненно отвергал формализм как бессмыссленную игру с символами. В 1920 году Гильберт добился исключения Брауэра, которого он считал угрозой математике, из группы редакторов Mathematische Annalen, главного математического журнала того времени.

Однако теоремы Гёделя о неполноте, доказанные в 1931 году, показали, что ключевые аспекты программы Гильберта не могут быть достигнуты.

Гёдель показал, как сконструировать для любой достаточно сильной и непротиворечивой рекурсивно аксиоматизируемой системы (такой, которая необходима, чтобы аксиоматизировать элементарную теорию арифметики на множестве натуральных чисел) утверждение, для которого может быть показана его правдивость, но не доказуемое системой. Таким образом, стало ясно, что математические основы не могут быть сведены к чисто формальной системе, как предполагалось в Гильбертовой программе. Тем самым был нанесен сокрушительный удар в сердце Гильбертовой программы, — программы, которая предполагала, что непротиворечивость может быть установлена финитическими средствами.

В то же время, интуиционистская школа не привлекла к себе каких-либо постоянных последователей среди активных математиков из-за проблем в конструктивной математике.

Заключение

Разногласия среди математиков по поводу логических законов свидетельствовали о необходимости изучения логических средств, используемых в математике, и пересмотра этих средств. Эти разногласия способствовали развитию идеи не единственности логики как системы логических принципов, приведшей в результате к созданию неклассических логик. Важнейшей из неклассических логик является интуиционистская логика.

Кризис все еще не пройден, но он затух. Большинство математиков или не работают с уровня аксиоматических систем, или, если работают, то не сомневаются в корректности системы ZFC, наиболее популярной аксиоматической системы. В большинстве разделов практической математики математические парадоксы и так не играли никакой роли, а в тех разделах, которые напрямую связаны с основами математики — в частности, математическая логика и теория категорий, — их можно обойти.

В теории множеств парадокс Бурали-Форти демонстрирует, что предположение о существовании множества всех порядковых чисел ведёт к противоречиям и, следовательно, противоречивой является теория, в которой построение такого множества возможно.


Парадо́кс Ка́нтора — парадокс теории множеств, который демонстрирует, что предположение о существовании множества всех множеств ведёт к противоречиям и, следовательно, противоречивой является теория, в которой построение такого множества возможно.

Этот парадокс, открытый Кантором около 1899 года, обнаружил необходимость пересмотра «наивной теории множеств» (парадокс Рассела был открыт несколько позднее, около1901 года) и стимулировал разработку строгой аксиоматики теории множеств. Схема аксиом   отвергнута как противоречивая, вместо этого была разработана система ограничений на вид условия, задаваемого формулой  .

Парадо́кс всемогу́щества — семейство связанных парадоксов, имеющих отношение к вопросу о том, что может сделать всемогущее существо, в особенности может ли существо, которое в состоянии выполнить любое действие, сделать что-то, что ограничило бы его способность выполнять действия.

Описание

Парадоксальность заключается в следующем: если существо выполнит действие, ограничивающее его способность выполнять действия, то это ограничит его собственную способность выполнять действия и, следовательно, существо уже не будет всемогущим; с другой стороны, если существо не может ограничить свою способность выполнять действия, то оно не может выполнять самоограничивающие действия и поэтому не является всемогущим. Этот парадокс часто формулируется в терминах, связанных с Богом в авраамических религиях, но это не обязательно. Является частным случаем парадокса Рассела.

Пример

«Попросите Бога сделать камень, который он не сможет поднять».

Коли получится, значит, его всемогущество утратило силу. А коли нет, то он и не был всемогущ.

На практике подобная проблема возникает, когда определённое политическое учреждение получает всю полноту законодательной власти и становится всемогущим в юридической власти и особенно в отношении способности такого учреждения регулировать себя. Некоторые философы, например Дж. Л. Коуэн (J. L. Cowan), рассматривали этот парадокс как достаточное основание, чтобы отвергнуть возможность существования любого абсолютно всемогущего существа. Другие, как Фома Аквинский, утверждали, что парадокс является результатом неправильного понимания всемогущества. В самом деле, парадокс является формой парадокса импликации, включающего в себя самоотносимость в незамкнутом определении универсалии «всё» в составе слова «всемогущий»: включает ли она в себя всё возможное или к тому же всё невозможное — в первом случае парадокса нет, во втором ставится вопрос о действительности или недействительности «невозможного», что представляет собой задачу онтологии.

Были и такие философы, как Рене Декарт, утверждавшие, что Бог является абсолютно всемогущим, несмотря на очевидную проблему. Кроме того, некоторые философы рассматривали предположение, что деление существ на всемогущие и невсемогущие является ложной дилеммой, и отрицали возможность существования переменного могущества. Некоторые современные подходы к проблеме привели к семантическим спорам, может ли язык — а значит и философия — обоснованно обратиться к понятию всемогущества непосредственно.

Обзор

Общая современная версия парадокса всемогущества выражается в вопросе «Может ли всемогущий создать такой камень, который не сможет поднять?». Этот вопрос порождает дилемму. Всемогущий может или создать камень, который не сможет поднять, или же не сможет создать такой камень. Если он сможет создать такой камень, который не сможет поднять, тогда он перестанет быть всемогущим, если же он не сможет это сделать, то он уже является не всемогущим.

Этот парадокс схож с другим классическим парадоксом, парадоксом непреодолимой силы: Что произойдет, если человек, имеющий непреодолимую силу встретит камень, который невозможно сдвинуть? Один из ответов на этот парадокс состоит в том, что если существует непреодолимая сила, тогда по определению не существует объекта, который не может быть сдвинут; и наоборот, если существует объект, который невозможно сдвинуть, то никакая сила не может быть признана непреодолимой. Но такие рассуждения не подходят к случаю всемогущества, поскольку парадокс состоит в том, чтобы потребовать у всемогущего сделать всемогущество невозможным. В контексте законности, парадокс всемогущества иногда выражается в терминах законодательного всемогущества: власть может создать любой закон в любое время.

Для скрупулезного анализа парадокса всемогуществ, должно быть использовано одно из нескольких определений всемогущества. Например, Питер Гич (Peter Geach) описывает четыре различных вида всемогущества и отличает их от понятия «быть всесильным». 

К. С. Льюис в своей книге «Problem of Pain» утверждает, что природа парадокса внутренняя по отношению к утверждению:

Его всемогущество означает власть делать всё, что внутренне возможно, но не то, что внутренне невозможно. Ему можно приписывать чудеса, но не глупости. Это не полагает границ Его власти. Если вы скажете: «Бог может дать существу свободную волю и в то же время лишить его свободы воли», вы фактически ничего не сказали о Боге — бессмысленная комбинация слов не обретёт внезапно смысла потому лишь, что вы предпошлёте ей два других слова: «Бог может». По-прежнему остаётся истинным, что для Бога нет вещей невозможных — внутренние невозможности не есть вещи, а лишь пустые места. Для Бога не более возможно, чем для Его слабейшего создания, осуществить две взаимоисключающие альтернативы — не потому, что Его могущество наталкивается на препятствие, а потому, что чепуха остаётся чепухой, даже когда мы говорим её о Боге.

Типы всемогущества

Питер Гич описывает и выделяет четыре уровня всемогущества. Он также определяет и защищает меньшее понятие «всемогущего» Бога.

1. Абсолютное всемогущество А значит, что А «может сделать абсолютно все, что может быть выражено словами, даже если это кажется внутренне противоречивым». А «не ограничен действием, как мы в мыслях, законами логики». Это положение развито Декартом. Хотя теологически такую ситуацию можно обосновать тем, что Бог существовал прежде появления законов логики, но она вызывает теологическое неудобство создания подозрительных обещаний Бога. На этот счёт, парадокс всемогущества — подлинный парадокс, но подлинные парадоксы могут, тем не менее, быть такими.

2. Всемогущество А значит, что утверждение «А может Б» истинно тогда и только тогда, когда Б — логически последовательное описание конъюнктуры. Это положение было когда-то защищено Фомой Аквинским. Это определение всемогущества решает некоторые из парадоксов, связанных со всемогуществом, но некоторые современные формулировки парадокса все ещё работают против этого определения. Пусть Б это «сделать кое-что, что его создатель не может поднять». В этом действии нет ничего логически противоречащего, человек может, например, сделать лодку, которую он не может поднять. Было бы странно, если бы люди могли совершить этот подвиг, но всемогущее существо не могло бы. К тому же, это определение имеет проблемы, когда Б нравственно или физически ненадежное для существа как Бог.

3. Всемогущество А значит, что утверждение «А может Б» истинно тогда и только тогда, когда это действие логически последовательно для самого А. Здесь идея исключить действия, которые были бы непоследовательными для А, но могли бы быть последовательны для других. Это похоже на позицию Аквинского. Здесь учтен случай, когда Б это «сделать кое-что, что его создатель не может поднять», потому что «Бог делает Б» не последовательно логически. Однако, этот случай может все ещё иметь моральные проблемы, если Б это «говорить неправду», или временные проблемы, если Б это «сделать так, чтобы Рим не был никогда основан». 

4. Всемогущество А значит, что если «А вызовет Б» является логически возможным, тогда «А может вызвать Б» является верным. Этот смысл также не позволяет, чтобы возник парадокс всемогущества, и в отличие от третьего определения избегает любых временных забот о том, действительно ли всемогущее существо могло изменить прошлое. Однако, Гич критикует даже этот смысл всемогущества как неправильное понимание природы обещаний Бога. 

5. Всесилие А означает, что А превосходит любое другое существо по силе; никакое существо не может конкурировать с А во власти, даже неудачно. В этом случае не возникает парадокс всемогущества, но возможно это потому что Бог не взят ни в одном из смыслов всемогущества. С другой стороны, Ансельм Кентерберийский считает что всесильность — одна из вещей, которая делает Бога всемогущим. 

Понятие всемогущества может также быть применено к существу по-разному. «Чрезвычайно всемогущее» существо — существо, которое является обязательно всемогущим. Напротив, «случайно всемогущее» существо — существо, которое может быть всемогущим для временного промежутка времени, и затем становится невсемогущим. Парадокс всемогущества может быть иначе применен в каждом отдельном случае. 

Философские ответы

Без переопределения понятия всемогущества, парадокс может быть опровергнут самопротиворечивой формулировкой. Может быть действенным перестроить парадокс таким образом: «Включает ли в себя полная способность неспособность?» Рассматриваемый в этом свете, простой ответ «Нет» к классической формулировке вопроса («Может ли всемогущее существо создать камень …») не вовлекает никакого противоречия, никакого парадокса и не требует никакого переопределения всемогущества. Другие ответы могут требовать нюансов понимания всемогущества.

Можно попытаться решить парадокс, утверждая своего рода всемогущество, которое не требует, чтобы существо было в состоянии сделать все вещи всегда. Согласно этой цепи рассуждений, существо может создать камень, который оно не может поднять в момент создания. Будучи всемогущим, однако, существо может всегда изменить камень позже так, чтобы оно могло его поднять. Поэтому существо все ещё остаётся в некотором смысле всемогущим.

Это примерная идея, поддерживаемая Мэтью Харрисоном Брэди, персонажем пьесы «Inherit the Wind», прототипом для которого служил Уильям Дженнингс Брайен. В кульминационной сцене киноверсии 1960-х, Брэди утверждает, что «Естественный закон родился в сознании Создателя. Он может изменить его — отменить его — использовать его как ему угодно!» Но это решение просто отодвигает проблему на шаг назад. Можно спросить, в силах ли всемогущее существо создать камень, настолько неизменный, что само существо не может позже изменить его. Но подобный ответ можно предложить, чтобы ответить на это и на любые дальнейшие шаги.

В 1955-м году в статье, изданной в философском журнале «Сознание», Дж. Л. Макки попытался решить парадокс, различив всемогущество первого порядка (неограниченная власть действовать) и всемогущество второго порядка (неограниченная власть управлять властью).[15] Всемогущее существо, обладающее всемогуществом обоих порядков, могло бы в какой-то момент ограничить собственную власть действовать и, впредь, прекратило бы быть всемогущим в любом смысле. Начиная с Макки, продолжается философский спор относительно того, как лучше сформулировать парадокс всемогущества в формальной логике. 

Другой общий ответ на парадокс всемогущества — это попытка определить всемогущество как кое-что более слабое, чем абсолютное всемогущество, как в определениях 3 или 4 выше. Парадокс может быть решен с оговоркой, что всемогущество не требует, чтобы существо имело способности, которые являются логически невозможными, но чтобы было в состоянии сделать что-нибудь, что соответствует законам логики. Хороший пример современного защитника этой цепи рассуждений — Джордж Мавроудс. 

Если существо является «случайно всемогущим», то это может решить парадокс. Создавая камень, который не может поднять, существо таким образом становится невсемогущим. Однако это поднимает вопрос, действительно ли существо было когда-либо всемогущим или только способным к большой власти. С другой стороны, о способности добровольно бросать большую власть часто думают как о ведущей к понятию Божественного Воплощения. 

Если существо является «чрезвычайно всемогущим», то это может также решить парадокс (пока мы берем всемогущество, не требующее абсолютного всемогущества). Существо является чрезвычайно всемогущим, и поэтому для него невозможно быть невсемогущим. Далее, всемогущее существо не может сделать то, что логически невозможно. Создание камня, который не может поднять всемогущее существо, было бы невозможностью, и поэтому всемогущее существо не обязано мочь делать такую вещь. Всемогущее существо не может создать такой камень, но однако сохраняет своё всемогущество. Это решение работает даже с определением 2, пока мы также знаем, что существо является чрезвычайно всемогущим.

По существу это была точка зрения, взятая Августином Блаженным в его «Граде Божьем»:

Из-за того, что Его называют всемогущим, потому что он может делать все, что желает, вовсе не значит, что он может пострадать от себя; потому что если бы это случилось с Ним, Он ни в коем случае не был бы всемогущим. Поэтому, Он не может сделать некоторых вещей по самой причине, что Он является всемогущим. 

Таким образом Августин утверждал, что Бог не может сделать ничего или создать любую ситуацию, которая в действительности сделает Бога не-Богом.

Есть и аллегорические ответы на вопрос о всемогуществе и о камне. В первом случае неподъёмными камнями можно считать созданных Богом свободных людей, которых Бог не может спасти без воли каждого человека. Во втором случае можно привести христианское учение о Боге — Троице, в которой Бог Отец всегда рождает Бога Сына и всегда изводит из себя Бога Духа Святого, но не может Их изменить, иначе, «поднять» эти «камни». 

Некоторые философы утверждают, что парадокс может быть решен, если определение всемогущества включает взгляд Декарта, что всемогущее существо может сделать логически невозможное. По этому сценарию всемогущее существо могло создать камень, который оно не может поднять, но также могло поднять камень в любом случае. По-видимому, такое существо могло также сделать сумму 2 + 2 = 5 математически возможной или создать квадратный треугольник. Эта попытка решить парадокс проблематична в том, что само определение лишено логической непротиворечивости. Парадокс может быть решен, но только при парапоследовательной логике. Это не выглядит как проблема для последователей диалетеизма или другой формы логического трансцендентализма.

Философское противоречие

C точки зрения понятия «Абсолют», парадокс всемогущества решается тем, что его нельзя сформулировать без логического противоречия: либо подчинения Бога миру, либо выноса явления, присущего нашему миру за его пределы, либо отсутствия Бога. Например, парадокс с неподъёмным камнем — здесь логическое противоречие заключается в том, что термин «поднять» и «камень» — внутримирные, а Бог может создать камень, который никто в этом мире поднять не сможет, но сам Бог его «поднять» может — так как миру не подчинён и «поднять» — лишь внутримирное наблюдение процесса.

Язык и всемогущество

Философ Людвиг Витгенштейн часто интерпретируется как человек, утверждающий, что язык не подходит для задачи описания вида власти, которую всемогущее существо имело бы. В своём «Логико-философском трактате» в основном он остаётся в сфере логического позитивизма, но в части 6.41 и в последующих суждениях утверждает, что этика и некоторые другие проблемы — «трансцендентальные» предметы, которые невозможно исследовать при помощи языка. Витгенштейн также упоминает волю, жизнь после смерти и Бога, аргументируя это тем, что «Для ответа, который не может быть выражен словами, не может быть высказан вопрос». 

Работа Витгенштейна делает парадокс всемогущества одной из проблем семантики, науки о том, как символы получают смысл. (Возражение «Это только семантика», является способом сказать, что утверждение касается только определений слов, вместо чего-нибудь важного в физическом мире). Согласно Трактату, даже пытаться сформулировать парадокс всемогущества бесполезно, так как язык не может обратиться к объектам, которые парадокс рассматривает. Заканчивает «Трактат» изречение Витгенштейна по этому поводу: «О чем невозможно говорить, о том следует молчать». Подход Витгенштейна к этим проблемам повлиял на религиозного мыслителя XX века Дьюи Филипса. Но в более поздние годы Витгенштейн написал работы, которые часто считают конфликтующими с его положениями в Трактате. 

Парадокс Рассела — открытый в 1901 году Бертраном Расселом и позднее независимо переоткрытый Э. Цермело теоретико-множественный парадокс, демонстрирующий противоречивость логической системы Фреге, являвшейся ранней попыткой формализации наивной теории множеств Г. Кантора.Парадокс Рассела формулируется следующим образом:

Пусть А  — множество всех множеств, которые не содержат себя в качестве своего элемента. Содержит ли А  само себя в качестве элемента? Если да, то, по определению А , оно не должно быть элементом А  — противоречие. Если нет — то, по определению А , оно должно быть элементом А  — вновь противоречие.

Противоречие в парадоксе Рассела возникает из-за использования в рассуждении внутренне противоречивого понятия множества всех множеств и представления о возможности неограниченного применения законов классической логики при работе с множествами. Для преодоления этого парадокса было предложено несколько путей. Наиболее известный состоит в предъявлении для теории множеств непротиворечивой формализации, по отношению к которой являлись бы допустимыми все «действительно нужные» (в некотором смысле) способы оперирования с множествами. В рамках такой формализации утверждение о существовании множества всех множеств было бы невыводимым.


В ходе реализации описанной программы «спасения» теории множеств было предложено несколько возможных её аксиоматизаций (теория Цермело — Френкеля ZF, теория Неймана — Бернайса — Гёделя NBG и т. д.), однако ни для одной из этих теорий до настоящего момента не найдено доказательства непротиворечивости. Более того, как показал Гёдель, разработав ряд теорем о неполноте, такого доказательства не может существовать (в некотором смысле).

Другой реакцией на открытие парадокса Рассела явился интуиционизм Л. Э. Я. Брауэра. 

Существует много популярных формулировок этого парадокса. Одна из них традиционно называется парадоксом брадобрея и звучит так:

Одному деревенскому брадобрею приказали «брить всякого, кто сам не бреется, и не брить того, кто сам бреется», как он должен поступить с собой?

Еще один вариант:

В одной стране вышел указ: «Мэры всех городов должны жить не в своем городе, а в специальном Городе мэров», где должен жить мэр Города мэров?

И ещё один:

Некая библиотека решила составить библиографический каталог, в который входили бы все те и только те библиографические каталоги, которые не содержат ссылок на самих себя. Должен ли такой каталог включать ссылку на себя?

Парадокс Тристрама Шенди — рассуждение, предложенное Расселом в книге «Мистицизм и логика» («Mysticism and Logic») в связи с понятием равномощности множеств, демонстрирующее нарушение интуитивного принципа «часть меньше целого» для бесконечных множеств.

Формулировка

В романе Стерна «Жизнь и мнения Тристрама Шенди, джентльмена» герой обнаруживает, что ему потребовался целый год, чтобы изложить события первого дня его жизни, и еще один год понадобился, чтобы описать второй день. В связи с этим герой сетует, что материал его биографии будет накапливаться быстрее, чем он сможет его обработать, и он никогда не сможет ее завершить. «Теперь я утверждаю, — возражает на это Рассел, — что если бы он жил вечно и его работа не стала бы ему в тягость, даже если бы его жизнь продолжала быть столь же богатой событиями, как вначале, то ни одна из частей его биографии не осталась бы ненаписанной».

Действительно, события n-го дня Шенди мог бы описать за n-й год и, таким образом, в его автобиографии каждый день оказался бы запечатленным. Иначе говоря, если бы жизнь длилась бесконечно, то она насчитывала бы столько же лет, сколько дней.

Аналогия

Ряд натуральных чисел можно поставить во взаимно однозначное соответствие с рядами квадратов натуральных чисел, степеней двойки, факториалов и т. п.:

1 2 3 4 5 …

1 4 9 16 25 …

2 4 8 16 32 …

1 2 6 24 120 …

Можно привести примеры рядов натуральных чисел со всё более быстрым ростом, представителей которых, как бы редко они ни были расположены в натуральном ряду, будет столько же, сколько натуральных чисел.

Выводы

Данное рассуждение демонстрирует нарушение принципа «часть меньше целого», которое характерно для бесконечных множеств и даже может быть использовано для отличения их от конечных. Критерий бесконечности множества, предложенный Дедекиндом, формулируется следующим образом: «множество является бесконечным, тогда и только тогда, когда оно равномощно некоторой своей части». Можно доказать, что критерий Дедекинда в аксиоматической теории множеств эквивалентен определению бесконечного множества как множества, содержащего счётное подмножество элементов.

Парадо́кс Ба́наха — Та́рского, или парадо́кс удвое́ния ша́ра — теорема в теории множеств, утверждающая, что трёхмерный шар равносоставлен двум своим копиям.

Два подмножества евклидова пространства называются равносоставленными, если одно можно разбить на конечное число частей, передвинуть их, и составить из них второе. При этом для удвоения шара достаточно пяти частей, но четырёх недостаточно.

Ввиду своей неправдоподобности, этот парадокс часто используется как довод против принятия аксиомы выбора, которая существенно используется при построении такого разбиения. Принятие подходящей альтернативной аксиомы позволяет доказать невозможность указанного разбиения, не оставляя места для этого парадокса.

(NZ) Как видим, все проблемы математики возникают при прикосновении к философскому содержанию таких фундаментальных понятий как множество, бесконечность и существование.   И от их понимания зависит, какой вариант мат. знания исследователи выстраивают. Обычно мат-ки, во избежание парадоксов, ограничивают разнообразие объектов изучения или используют взаимоисключающие интерпретации понятий.

Чтобы формализовать неоэзотерику нам придется решить эти проблемы, но не как математики, а с позиций и особенностей эзо-знания. И основное отличие в подходе будет базироваться на отношении к противоречиям в основаниях науки и логики как к естественному явлению, требующему применение диалектической логики по разрешению таковых.

Фундаментальным ориентиром в  NZ-науке является критерий Прохода, который требует от исследователя, при необходимости, самых решительных и экстраординарных шагов, лишь бы обеспечить его эзо-движение.  

см. Математическая модель Физико-мат. модель Кибернетическая модель Пространство Теория множеств

Использованы статьи википедии. Адаптировано для www.NeoEsoterik.org